前言

本文为个人测试B站专栏功能的一次试验. 

1.Schrödinger方程

作为低能（非相对论）、无衰变（粒子数守恒）量子力学的基本原理之一，薛定谔方程用于描述微观系统的状态随时间演化的规律：

式用是体系的哈密顿算符. 

(资料图)

由分析力学知识，我们知道，这意味着若哈密顿量（Hamiltonian）不显含时间，则体系哈密顿量守恒，此时哈密顿量就是体系能量. 这一点可以这么理解：

正则方程：

联立这三个式子即可. 

当不显含时间时，薛定谔方程可以分离变量，即，带入原薛定谔方程，得到

若具有离散的，表示相应的本征矢量，得到哈密顿的本征方程，即定态薛定谔方程：

同时有，进而得到定态特解：

. 

含时薛定谔方程方程的一般解视为所有定态解的叠解：

我们记体系初始状态，叠加系数. 最终我们得到体系态矢量：

. 

2.Klein-Gordon方程

上述薛定谔方程不可用于狭义相对论框架下，主要是因为式中哈密顿量是在非相对论条件下得到的. 如果直接把自由粒子的哈密顿量写成

代入坐标表象下的薛定谔方程得

根据相对论能量关系

存在对应关系

于是得到

此即单个自由粒子的K-G方程. 

在量子场论中，我们有时会把K-G方程写作

. 

当K-G方程被提出时，科学家们发现其计算氢原子能量本征值与实验差异很大，且不能直接拓展到矢量场中的粒子上. 但是该方程退化后一样能得到原始的薛定谔方程，试一次将量子理论融入相对论框架的尝试，并在之后的量子场论等发展中起到一定作用. 

3.Dirac方程

K-G方程的问题出在态函数上，而不是相对论条件. 鉴于此，我们出发寻找一个要求更高的方程. 这样的方程首先该对时间是一阶的，这才符合我们对量子力学框架的认识；根据相对论时空观，这个方程对x, y, z也该是一阶的. 我们可以假设有

其中是四个待定的无量纲常数. 

将上式与K-G方程移项后比较，推知系数应满足关系：

我们把这样的方程成为自由粒子的狄拉克方程，简记为

.

如果取，定义四维动量算符：和gamma算符：，可以得到

此为狄拉克方程的洛伦兹协变形式，已采用指标求和. 

在量子场论中，我们有时也把狄拉克方程写作

.

值得一提的是，如果我们其自由粒子的哈密顿为，我们仍可得到的形式. 如果需要讨论矢量场中的粒子，需要将动量和能量改写.

狄拉克的理论是一种相对论性量子力学理论. 从狄拉克方程出发，之后得到电子的自旋性质是自然而然的，我们其实不必认为电子自旋是根据实验结果对量子力学基本原理的修改. 需要注意，狄拉克方程适用于有质量的自旋1/2粒子. 

*4.Weyl方程

一般认为费米子有三种：Dirac费米子、Majorana费米子和Weyl费米子. 电子就是狄拉克费米子，这样的粒子的性质与其反粒子不同，大部分费米子都属于这种，我们可以用狄拉克方程描述；马约拉纳费米子的反粒子就是其本身，在研究超导元激发时会引入这样的准粒子；外尔费米子是一种无质量费米子，目前已被实验发现. 

以下已使用自然单位制. 考虑场的一阶方程：

方程两边同时再对t求导得

为满足相对论协变性，取，满足这样要求的b^i一定不是复数，而应该是矩阵形式的. 在二维空间中，三个Pauli矩阵恰好满足自己乘以自己得到单位矩阵. 于是我们取，三个泡利矩阵分别为

得到外尔方程

. 

可以看出是个二维矢量场，而这三个作为系数的泡利矩阵，实际上是存在于自旋空间的. 由于外尔方程满足d'Alembert方程，相当于Dirac方程中取m=0时的特例，这意味着外尔场描述的是以光速运动的无质量粒子. 

关于粒子自旋和量子力学的其他有趣的内容，我打算放在以后继续补充. 

参考资料

喀兴林《高等量子力学》

王正行《简明量子场论》